集合論（その２）

　A、Bを個体とする。
・A⊂B は、∀x（（x∈A）⇒（x∈B））の短縮形である。もちろん、これは派生的命題。⊂は派生的述語と言える。あくまでも、便宜上のもの。意味は、「AはBの部分」。
・A＝B は、（A⊂B）∧（B⊂A）の短縮形。派生的命題。＝は派生的述語。同様に便宜上ののもの。意味は、「AとBは等しい」。
・｛A, B｝は、｛x｜（x＝A）∨（x＝B）｝の短縮形。２パラメタの派生的個体。意味は、「AとBを含む個体」。派生的個体の短縮形は、記号≡の左辺で表すことにする。この場合は、｛A, B｝≡｛x｜（x＝A）∨（x＝B）｝。
・A∪B≡｛x｜（x∈A）∨（x∈B）｝。２パラメタの派生的個体。意味は、「AとBの合併」。
・A∩B≡｛x｜（x∈A）∧（x∈B）｝。２パラメタの派生的個体。意味は、「AとBの共通」。
もっと一般的な合併と共通を与える。
・∪A≡｛x｜∃y（（x∈y）∧（y∈A））｝。
・∩A≡｛x｜∀y（（y∈A）⇒（x∈y））｝。
両方とも、１パラメタの派生的個体。
∀A∀B（∪｛A, B｝＝A∪B）、
∀A∀B（∩｛A, B｝＝A∩B）、
これらは、定理。

・Pow（A）≡｛x｜x⊂A｝。１パラメタの派生的個体。意味は、「Aの部分の集まり」。
・（A、B）≡｛A、｛A、B｝｝。２パラメタの派生的個体。意味は、「AとBの対という個体」。
このとき、∀A∀B∀C∀D（（（A、B）＝（C、D））⇒（（A＝C）∧（B＝D）））は、定理。
・A×B≡｛x｜∃y∃z（（x＝（y、z））∧（y∈A）∧（z∈B））｝。２パラメタの派生的個体。意味は、「AとBの直積」、または「AとBの元の対の最大の集まり」。
・（f（x）＝y）は、（（x、y）∈f）の短縮形。３項の派生的述語の命題。「・（・）＝・」という形自体が、派生的述語を表していることに注意。また、その命題は派生的命題ではなく、れっきとした原始的命題の部類に入る。意味は、「yはxにおけるfの値」。
・（f：A〜B）は（∀x（（x∈A）⇒∃y（（y∈B）∧（f（x）＝y））））の短縮形。３項の派生的述語の命題。これも、「・：・〜・」という形自体が、派生的述語を表していることに注意。この命題は派生的命題の部類。意味は、「fはAからBへの関係？」。
・Single_Val［A、B、f］は、∀x∀y∀z∀w（（（x∈A）∧（y∈A）∧（z∈B）∧（w∈B）∧（f（x）＝z）∧（f（y）＝w）∧（x＝y））⇒（z＝w））の短縮形とおく。（３項の派生的述語。意味は、「fは１価」。）
・（f：A→B）は（（f：A〜B）∧Single_Val［A、B、f］）の短縮形。３項の派生的述語の命題。これも、「・：・→・」という形自体が、派生的述語を表していることに注意。この命題は派生的命題の部類。意味は、「fはAからBへの写像」。写像というとき、１価を前提にすることにした。多価のときは、原始的写像とでも呼ぼう。
・Map0（A、B）≡｛f｜f：A〜B｝。２パラメタの派生的個体。意味は、「AからBへの原始的写像の集まり」。
・Map（A、B）≡｛f｜f：A→B｝。２パラメタの派生的個体。意味は、「AからBへの写像の集まり」。
∀A∀B（Map（A、B）⊂Map0（A、B）⊂Pow（A×B））、
∀A∀B（∪｛x｜∃y（x＝Map0（y、B））∧（y⊂A）｝＝Pow（A×B））、
は定理（かな？）。

　次は、２つ目の原始的述語が登場。それは、「Aは集合である」を意味する述語。次回へ。