集合論
集合論では、原始的述語がまず１つ現れる。それは記号∈で表される。これは２項述語になる。a∈A と書いて、「a は A の元である」と読む。もちろん、a と A は何らかの個体である。他にもいろいろな読み方があるが、本質は、２項の述語であるということ。
Pを述語、aを個体とする。P［... , a, ...］を a∈｛x｜P［... , x, ...］｝のように変形してみる。「...」には適当な個体が並んでいるとする。記号∈の右側に現れるのは、クラスと呼ばれる個体である。P［... , a, ...］が正しい命題なら、個体aはそれを満たしているので、｛x｜P［... , x, ...］｝の元である。つまり、a∈｛x｜P［... , x, ...］｝は、このように解釈できる。｛x｜で外に括り出されたxは、束縛変数である。命題を束縛して新しい命題を生み出すのとは異なり、命題を束縛して新しい個体を生み出すものである。この個体を、派生的個体と呼ぶことにする。もちろん、xの位置にある項は使用不可。「...」の中に個体があれば、クラスは、パラメタ化された個体になる。
個体の生成規則を立てる。(3) Pを述語とする。｛x｜P［... , x, ...］｝は個体として扱うと取り決める。xは派生的個体を生成する束縛変数、派生的命題を生成する束縛変数とは区別する。
述語論理の公理系に追加する。そして、それを集合の公理系とする。
！ [8] Pは任意の述語、aは任意の個体とする。
！ （P［... , a, ...］）⇒（a∈｛x｜P［... , x, ...］｝）、
！ （a∈｛x｜P［... , x, ...］｝）⇒（P［... , a, ...］）、
！ （P［... , a, ...］）⇒（∃x（P［... , x, ...］））、
[8] Pは任意の述語とする。
∀y（（P［... , y, ...］）⇒（y∈｛x｜P［... , x, ...］｝））、
∀y（（y∈｛x｜P［... , x, ...］｝）⇒（P［... , y, ...］））、
∀y（（P［... , y, ...］）⇒（∃x（P［... , x, ...］）））、
の形の命題はすべて、正しい命題と取り決める。
[9] ∃x（P［... , x, ...］）は正しい命題とする。どの個体とも一致しない文字列aを作り出しておき、命題P［... , a, ...］を正しい命題とするような個体として取り扱う。この個体aを原始的個体と呼ぶことにする。
（ここら辺はオリジナルなので、かなりあやうい。[8]は、！の付いてる方と、付いてない方どちらを採用してもいい。統一感が決めてになると思うが…）
さて、これでようやく公理論的集合論を始められる。それは、公理を追加する形で行われる。公理とは、[1][2][3][5][6][8]などのように、最初から正しいと取り決めた命題をさす。公理以外の正しい命題を、定理と呼ぶことにする。
ここでちょっと、用語の整理。出て来た用語は、
原始的命題、派生的命題、命題、正しい命題、正しくない命題、
原始的述語、派生的述語、述語、
原始的個体、派生的個体、個体、
原始的記号、派生的記号、
公理、定理、
である。
この時点で具体的なものが出てるのは次の通り。原始的述語は、∈のみ。派生的述語は、便宜上のもの、なので、存在せず。派生的個体は、クラスそのもの。原始的個体はまだ、なにも決めてない。これから、∃x（...）の形の公理を追加していくことで、増えていく。さて、原始的個体と原始的述語から構成される命題は、原始的命題と呼んでも違和感はないが、派生的個体が混じる個体と原始的述語から構成される命題は、原始的命題と呼んでいいだろうか。とりあえず、そうしていいとしておく。原始的記号は、∨、¬、∀。派生的記号は、Λ、⇒、∃。
｛x｜¬（x∈x）｝∈｛y｜¬（y∈y）｝は命題の形をなしている。だから命題である。だが、まだ正しい命題かどうかは決めていない。２つの個体が同じ、という性質はまだ定義してないが、個体｛x｜¬（x∈x）｝と個体｛y｜¬（y∈y）｝は同じと考えると、X∈X という形をしているので、Xは｛y｜¬（y∈y）｝に含まれない。つまり、
（｛x｜¬（x∈x）｝∈｛y｜¬（y∈y）｝）⇒（¬（｛z｜¬（z∈z）｝∈｛w｜¬（w∈w）｝））
は、正しい、と言えそうだ。同様に考えていく。¬（X∈X）が成立しているならば、Xは｛y｜¬（y∈y）｝に含まれる。つまり、
¬（｛x｜¬（x∈x）｝∈｛y｜¬（y∈y）｝）⇒（｛z｜¬（z∈z）｝∈｛w｜¬（w∈w）｝）
も、正しい、と言えそうだ。AはX∈Xの略としよう。これは、A⇒（¬A）⇒A⇒（¬A）⇒... と堂々巡りする命題となる。もし、最初のAが正しいと、¬Aも正しいことになってしまい、システムは矛盾している、ということになる。これが、ラッセルのパラドックスである。
A、つまり、｛x｜¬（x∈x）｝∈｛y｜¬（y∈y）｝は、正しい命題にしてはいけないのだ。または、｛x｜¬（x∈x）｝という個体が公理系の中に現れなければいいとも言える。
