集合論（その３）

　Set という述語を与える。Set［A］と書いて、「Aは集合」と読ませる。１項の原始的述語。このとき、Aは個体。

　Set に関して、公理を与える。

[10] ∀A（Set［A］⇒∀B（（B⊂A）⇒Set［B］））
[11] ∀A（Set［A］⇒Set［Pow［A］］）
[12] ∀A（Set［A］⇒Set［∪A］）
[13] ∀A∀B（（Set［A］∧Set［B］）⇒Set［A×B］）

　これでは、「集合が存在すれば」という仮定の話で終ってしまうので、始まりの集合を与えねばならない。

[14] ∃x（∀y（¬（y∈x）））

　[14]から新しい個体が生み出される。φと書いて、「空集合」と呼ぶことにする。

[15] Set［φ］

[16] ∃x（（φ∈x）∧∀y（（y∈x）⇒∀z（（z∈y）⇒（z∈x））））

　[16]から新しい個体が生み出される。Ｎと書いて、「自然数全体」と呼ぶことにする。（何か足りない気がする。カントルの超限順序数全体になりそうな気がするが、強行する）

[17] Set［Ｎ］

　後、数学的帰納法とか、選択公理などを公理に追加して、終わりたいが、なんだか、能力の限界に達したような気がするので、これでおしまい。

　では。またの機会に。