A、Bを個体とする。 ・A⊂B は、∀x（（x∈A）⇒（x∈B））の短縮形である。もちろん、これは派生的命題。⊂は派生的述語と言える。あくまでも、便宜上のもの。意味は、「AはBの部分」。 ・A＝B は、（A⊂B）∧（B⊂A）の短縮形。派生的命題。＝は派生的述語。同様に…

集合論では、原始的述語がまず１つ現れる。それは記号∈で表される。これは２項述語になる。a∈A と書いて、「a は A の元である」と読む。もちろん、a と A は何らかの個体である。他にもいろいろな読み方があるが、本質は、２項の述語であるということ。 Pを…

「石は硬い」という原始的命題は、「石」と「〜は硬い」の２つの部分に分けることができる。「石」は、個体と呼ばれるグループにまとめられ、「〜は硬い」は、述語と呼ばれるグループにまとめられる。「太郎と次郎は兄弟だ」という原始的命題では、「太郎」…

命題とは、事実を述べようとする文のこと。たとえば、「石は硬い」とか、「鉄は硬い」、「空気は硬い」など。そして、最初の２つは正しい命題、最後のは間違いで正しくない命題、とかのように評価される。これらを原始的命題と呼ぶことにする。 原始的命題か…

超越数をもっと細かく分類して欲しい。例えば、一般項が存在する級数で表現される数と、そうでない数とか。円周率とか、自然対数とかはこれにカテゴライズされる超越数。というか、そうならない超越数は、はたして存在するかな。もしあったら、どんなふうに…

・整数とは、代数構造と順序構造をもつもの。 ・実数とは、代数構造と順序構造にさらに極限構造を加えたもの。 ・積分とは、関数に実数値を結び付けるもの。 ・位相幾何とは、空間に代数構造を結び付けるもの。 数学とは、どんなに抽象理論が栄えても、結局…

数学における「証明」とは何だろうか。数学者はこれに答えを出しているようだ。以下、数学基礎論とか、数理論理学とか呼ばれる世界の話。一般に認識される数学（代数学とか、幾何学とか、解析とか）とはまた違った世界。 まず、数学を表現する「言葉」を作ら…