述語論理

　「石は硬い」という原始的命題は、「石」と「〜は硬い」の２つの部分に分けることができる。「石」は、個体と呼ばれるグループにまとめられ、「〜は硬い」は、述語と呼ばれるグループにまとめられる。「太郎と次郎は兄弟だ」という原始的命題では、「太郎」、「次郎」は個体、「〜と〜は兄弟だ」は述語であり、特に、２項述語と呼ばれる。「〜は硬い」は１項述語。述語は、複数の項を持つ。

　記法として、PをN項述語、a_1、…、a_Nを、N個の個体とし、P［a_1, ... , a_N］と書いて、原始的命題を表しているとする。P［... , a, ...］と、項の数をあいまいにして表すこともある(もちろん、aは個体、「...」の部分にも個体が並んでいるとする)。

　P、Qを１項述語、a、bを個体とする。たとえば、（P［a］∨Q［b］）⇒P［b］は、派生的命題であるが、全体でみて、２項述語と見ることができる。よって、P［a］と書いても、それは原始的命題とは限らないことにする。原始的命題の述語は原始的述語、派生的命題の述語は派生的述語と呼ぶことにする。このとき、派生的述語は本当の述語ではなく、仮のもの、一時的なものであることに注意。原始的述語こそ、本当の述語。

　命題の生成規則を追加する。(2) P［... , a, ...］が命題のとき、∀x（P［... , x, ...］）はまた、命題であると取り決める。述語Pの個体aがおかれていた項は束縛されて、使用できなくなっているとみなす。項が１つ減った述語が新たに作り出されたとみなす。「...」の部分には個体があって、変形前後で変わっていないする。∃x（P［... , x, ...］）は ¬（∀x（¬P［... , x, ...］））の短縮形とする。記号∀で、外に括り出されたxは、束縛変数と呼ぶ。その位置にある項は使用不可能になったとみなす。ちなみに、記号∀は原始的記号、∃は派生的記号と呼ぶことにする。∀を適用してできた命題は派生的命題とみなす。

　意味的には、次の通り。命題∀x（P［... , x, ...］）が正しいとか正しくないなど、何らかの性質を持つとき、すべての個体aについて、命題P［... , a, ...］は正しいとか正しくないなど、同じ性質を持つ。命題∃x（P［... , x, ...］）が正しいとか正しくないなど、何らかの性質を持つとき、ある個体aで、命題P［... , a, ...］が正しいとか正しくないなど、同じ性質を持つ。

　正しい命題の生成規則も追加する。命題論理の公理系に次のを追加して、述語論理の公理系とする。
　[5] aは適当な個体とする。Pは適当な述語とする。
　　　∀x（P［... , x, ...］）⇒P［... , a, ...］
の形の命題はすべて、正しい命題であると取り決める。もちろん、xとaは同じ位置にあって、「...」の部分には適当な個体が並んでて、記号⇒の前後で変わっていないとする。
　[6] Qは適当な述語で、束縛変数xによる束縛とは関係がないとする。
　　　（∀x（Q［...］⇒P［... , x, ...］））⇒（Q［...］⇒∀x（P［... , x, ...］））
の形の命題はすべて、正しい命題であると取り決める。
　[7] どんな個体aに対しても、P［a］が正しい命題であるとする。∀x（P［x］）は正しい命題として扱う。
（参考「記号論理学」清水義夫　東京大学出版会）

　次、ようやく、集合論。