命題論理

　命題とは、事実を述べようとする文のこと。たとえば、「石は硬い」とか、「鉄は硬い」、「空気は硬い」など。そして、最初の２つは正しい命題、最後のは間違いで正しくない命題、とかのように評価される。これらを原始的命題と呼ぶことにする。

　原始的命題から新しい命題を生成する手段を与える。(1) A、Bを命題とする。このとき、A∨B、¬A、を命題であると取り決める。続いて、A∧B、A⇒B、をそれぞれ、¬（（¬A）∨（¬B））、（¬A）∨B、の置き換え（または、短縮形）とする。取り決め通り、明らかに、A∧B、A⇒B、は命題である。(1)で生成された命題を派生的命題と呼ぶことにする。派生的命題も原始的命題もどちらも、命題であることに変わりはないことに注意。派生的命題からさらに派生的命題を作ってもよい。記号∨、¬、は原始的記号、∧、⇒、は派生的記号と呼ぶことにする。

　意味的には、A∨Bは「AまたはB」、¬Aは「Aの否定」、A∧Bは「AかつB」、A⇒Bは「AならばB」、のように解釈される。

　文字列（文字の並びのこと）と命題はきちんと区別される。命題は文字列の一種だが、命題とはならない文字列が存在することに注意。何かしらの文字列が存在して、それが命題かそうでないかの区別は簡単につく。まず、(i)記号¬が付いているかどうかチェックし、付いてたら、¬を取り除いたものが命題かどうかチェックする。(ii)記号¬が付いてなかったら、記号∨が含まれているかどうかチェックし、含まれていたら、∨を挟む両方の文字列が命題かどうかチェックする。(i)と(ii)を繰り返していき、最後に残った文字列が、原始的命題であるかチェックする。すべてのチェックが通れば、問題の文字列は命題だったと判断できる。

　命題論理の公理系について取り決める。公理系とは、正しい命題の集まりのこと。

　A、B、Cを適当な命題とする。このとき、
　[1] A⇒（B⇒A）、
　[2] （A⇒（B⇒C））⇒（（A⇒B）⇒（A⇒C））、
　[3] （（¬B）⇒（¬A））⇒（（（¬B）⇒A）⇒B）、
という形をした命題はすべて、正しい命題であると取り決める。さらに、
　[4] Aを正しい命題とし、また、A⇒B という形をした命題も正しい命題とする。このとき、Bは正しい命題として取り扱うと取り決める。
（参考「記号論理学」清水義夫　東京大学出版会）

　こうして、正しい命題から成る公理系が構成される。たとえば、適当な命題Aに対して、A⇒A という形の命題はすべて正しい命題となることが示される。また、正しい命題はすべて恒真命題になるし、恒真命題もすべて正しい命題になる。つまり、正しい命題と恒真命題はきれいに一致する。恒真命題とは、中に含まれる原始的命題の真偽によらず、必ず真になる命題のこと。

　Aが正しい命題のとき、¬Aは正しくない命題と呼ぶことにする。同時に、Aが正しくない命題であることを確認するには、¬Aが正しい命題として確認できることとしなければいけないかも。これは示せるものか、決めなければいけないものか、ちょっと判断つかない。申し訳ない。また、たぶん、Aが正しくない命題のとき、¬Aは正しい命題となるのは示せそう。

　次は、述語論理。その後は、集合論を展開したい。